Правильный шестиугольник свойства диагоналей

Пра­виль­ным ше­сти­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся ше­сти­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны. Пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник об­ла­да­ет сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми.

– Сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти.

– Боль­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти и равна двум его сто­ро­нам.

– Мень­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка в раз боль­ше его сто­ро­ны.

– Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°.

– Мень­шая диа­го­наль пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­на его сто­ро­не.

– Тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный сто­ро­ной ше­сти­уголь­ни­ка, его боль­шей и мень­шей диа­го­на­ля­ми, пря­мо­уголь­ный, а его ост­рые углы равны 30° и 60°.

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Треугольник Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки — вершины треугольника, отрезки — стороны треугольника.

Элементы треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и середину противоположной стороны треугольника. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектрисой данного угла треугольника называется отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий вершину треугольника и точку на противоположной стороне.

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

Виды треугольников и их свойства Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника, опущенные на его основание совпадают.

Правильный (равносторонний) треугольник — треугольник, все стороны которого равны.

Все углы правильного треугольника равны 60°.

Пусть (a) — сторона правильного треугольника, (h) — его высота, (S) — площадь, (R) и (r) — радиус описанной и вписанной окружностей, тогда

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой (равен 90°).

Две стороны, образующие прямой угол ((a) и (b) на рисунке), называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу (c на рисунке) — гипотенузой.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

(S=frac12 acdot h_)

Площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

где (p=frac<2>) — полупериметр треугольника.

Признаки равенства треугольников 1) По двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и прилежащим к ней углам;

3) по трем сторонам.

Тригонометрические функции острых углов

(cosalpha=dfrac) — отношение прилежащего катета к гипотенузе

Теоремы про треугольник Сумма углов треугольника равна 180°.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

где (alpha,;eta) и (gamma) — углы, противолежащие сторонам (a,; b) и (c) соответственно, а (R) — радиус описанной около этого треугольника окружности.

Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

1) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

2) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3) Противоположные углы параллелограмма равны.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°.

5) Сумма углов параллелограмма 360°.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Площадь параллелограмма равна произведению длин двух его соседних сторон на синус угла между ними (синусы всех углов параллелограмма равны):

Прямоугольник Прямоугольник – параллелограмм, все углы которого прямые.

1) Прямоугольник является параллелограммом, следовательно, выполняются все свойства параллелограмма.

2) Диагонали прямоугольника равны.

3) Стороны прямоугольника являются его высотами.

4) Около прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

5) По теореме Пифагора, длина (d) диагонали прямоугольника равна квадратному корню из суммы квадратов длин его соседних сторон: (d=sqrt).

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его соседних сторон:

Ромб Ромб – параллелограмм, все стороны которого равны.

1) Ромб является параллелограммом, следовательно, выполняются все свойства параллелограмма.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту (все стороны равны и все высоты равны):

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла (синусы всех углов ромба равны):

Квадрат Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

1) Квадрат является прямоугольником и ромбом, следовательно, выполняются все свойства прямоугольника и ромба.

2) По теореме Пифагора, длина (d) диагонали равна стороне квадрата, умноженной на √2:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Трапеция Трапеция – четырехугольник, только две противоположные стороны которого параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Равнобедренная трапеция – трапеция, боковые стороны которой равны.

Прямоугольная трапеция – трапеция с прямыми углами при боковой стороне.

1) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии трапеции и равен половине разности её оснований.

3) Если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон, то в трапецию можно вписать окружность.

4) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

5) Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6) Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

Площадь трапеции равна произведению длины её средней линии (m) на высоту (h). Или, что то же самое, произведению полусуммы оснований (a) и (b) на высоту (h):

Правильный шестиугольник Правильный шестиугольник – выпуклый многоугольник, с шестью углами и шестью равными сторонами.

1) Все внутренние углы правильного шестиугольника равны 120°. Сумма углов равна 720°.

2) Радиус (R) описанной окружности равен стороне a правильного шестиугольника: (R=a).

3) Перпендикуляр (h), проведенный из центра правильного шестиугольника к его стороне (апофема) равен радиусу (r) вписанной окружности: (h=r).

4) Апофема (h) правильного шестиугольника равна (h=dfrac<sqrt3><2>a).

Площадь правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника равна:

где (p=3a) — полупериметр шестиугольника.

Сумма углов многоугольника

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).

Окружность и круг Длина окружности – радиуса (R) (диаметра (D)) выражается формулой:

Площадь круга – радиуса (R) выражается формулой:

Площадь сектора, ограниченного центральным углом в (alpha) градусов или (n) радиан, радиуса (R) выражается формулой:

Длина дуги окружности радиуса (R), величиной (alpha) градусов или (n) радиан выражается формулой:

Вписанная окружность Вписанная в многоугольник окружность – окружность, лежащая внутри многоугольника и касающаяся всех его сторон.

Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Радиус (r)вписанной в многоугольник окружности равен отношению площади этого многоугольника и его полупериметра:

В любой треугольник можно вписать окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Описанная окружность Описанная около многоугольника окружность – окружность, содержащая все вершины многоугольника.

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Радиус (R) – описанной около треугольника окружности можно найти по формуле:

где (a) — сторона треугольника, (alpha) — угол треугольника, противоположный стороне (a).

Формулы суммы и разности аргументов

Формулы двойного угла

Вектор – направленный отрезок. То есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначают (overrightarrow<АВ>).

Координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала этого вектора.

То есть, чтобы найти координаты вектора (overrightarrow<АВ>), где (А(x_a;y_a)) и (В(x_b;y_b)) — координаты его начала и конца, нужно из координат его конца вычесть координаты начала:

Модулем вектора (overrightarrow<АВ>) (длиной вектора) с координатами (overrightarrow<(x;y)>) называется число, равное длине отрезка (АВ). Его можно найти по формуле:

Формула модуля вектора (overrightarrow<АВ>), через координаты его начала и конца:

Координаты середины отрезка (АВ) равны полусумме соответствующих координат концов отрезка:

Скалярное произведение Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.